数学

数学 : 数学一词来自希腊文μαθηματιχη`,其字根μα`θημα意义为知识、科学,它非常恰当地反映这个领域的广泛性与普遍性.从历史上看,数学常常用其某个侧面来表示:中国古代用算学来强调其计算技术方面,而西方多用几何学一词代表数学,以显示欧几里得(Euclid)的《几何原本》传统,而实际上,其中也包括数论和量论的内容.随着时间的流逝,数学的内容不断地扩大,在17—18世纪直至19世纪,被包括在数学领域内的许多学科和分支已经独立出去,而在各学科的边界又不断创造和衍生出一系列新的学科,这些新学科现在已融合而成面向21世纪的庞大的数学科学领域,它是一个具有内在统一性的科学技术群.以下从四个方面进行论述:
1.数学的对象和特点.数学中最原始的对象是数与形.自然数已经是相当抽象的概念,它不仅要从一个苹果、一间房子、一堆沙土中抽象出数1来,而且还要由数1得出更一般数的概念.有了自然数的概念还会遇到基数和序数的矛盾.至于记数法和位值制都是中国对人类文明的伟大创造,这种伟大创造绝不仅仅是对自然界的认识和对哲学思辨的产物,它真正体现数学的成就.数学另一个原始对象是形,它更为直观,甚至长期以来人们也把它当成自然科学的对象,尽管柏拉图(Plato)早就说过,三角形属于理念的世界.当然现在数学的空间远远超出现实的空间,数学中的“形”也不限于人们感官能摸得着、看得见的东西,它是更抽象的概念,如高维空间、无穷集合、群、拓扑等是任何其他学科都不研究的对象.数学作为一门模式科学,应该归入更广泛的符号和形式科学类.这一类似乎应该介于哲学类与具体科学,即自然科学与社会科学之间.它的姊妹学科包括一般符号学、语言学、逻辑学、方法学以及还未成型的一般系统学.有意思的是,有些数学家也认为“数学是一种语言”、“数学可还原为逻辑”、“数学是一种普遍方法”等,这些说法尽管有些偏颇,但毕竟触到数学与自然科学的本质差别以及数学与符号科学的亲缘关系.数学的本质特征是:
1) 数学是一种普遍语言.这种观点可以追溯到莱布尼茨(Leibniz,G.W.),他首先提出科学与哲学的两大目标,其中第一个就是找出一种普遍文字,首先是一种符号及变元表示的符号语言.正如吉布斯(Gibbs,J.W.)所说的“数学是一种语言”.吉布斯不仅是19世纪最伟大的统计热力学大师之一,而且也是向量分析的开创者及传播者.在19世纪90年代,英国著名的杂志《自然》上掀起的一场大辩论中,向量最终取代四元数而成为物理学普遍使用的概念.19世纪和20世纪之交,向量分析成为数学、物理学的有效工具,更确切地说,成为描述各种现象的语言.数学概念的产生及其符号化反映了数学的进步,算术运算的符号化及向符号代数过渡,几何学的代数化,微分、积分运算的符号化,函数的符号及行列式、矩阵、向量、张量等概念的符号化,复数的表示,算子演算以及符号逻辑等都是数学的重要进展.在这个意义下数学对象是一个符号集合.单纯的符号集合,正如裸的集合一样,没有结构,没有什么可说的,没有什么意思,而只有它具有形式结构(语法学),有一定的解释(模型——语义学),有一定变换、生成、操作、运用方式(语用学),它才能变得丰富多彩起来.数学作为一种普遍语言有自己的特点,比起纯逻辑语言来有内涵的丰富性,而比起通常语言来有外延的确定性.数学不仅是一种语言,它还是一种精密语言.正因为如此,它常被称为精密科学.数学之所以精密,不单是因为其数量表示,还在于它越来越深入那些以前所无法表示的或非实在的概念,如瞬时速度、加速度、位势、熵、谱等.对于许多直观概念,也只有在数学上才能得到很好处理,如连续性、对称性、随机性乃至信息控制、策略、对策、决策等.数学还明确了一些对立的范畴,如有穷与无穷、连续与离散、局部与整体、确定与偶然等.还有重要的元概念:如结构、构造、存在、模型、等价等.这些语言越来越深入到科学乃至日常生活之中,使论述确切及精密.许多常用概念也只有在数学上得到澄清才算有深刻的认识.
2) 数学是一种普遍方法.从古到今,对许多问题求出解答的过程中,人们或多或少产生一种方法的意识.而这种方法概念,又以数学中的算法概念为摹本.在这个意义下,数学充分显示其作为操作技术的特性.虽然精确的算法概念一直到20世纪30年代才有确切定义,但模糊的概念很早就有,而且也是数学追寻的主要目标之一.中国的数值运算及方程求解、欧几里得辗转相除法以及印度、阿拉伯的一些算法,都使人认识到算法是一种有限的指令,可以机械地运行,从而对一类问题得出确定的解答.许多几何作图问题以及求积问题也要求发现广义的“算法”来求解问题.笛卡儿(Descartes,R.)把算法推向普遍方法论的高度,他十分明确地考虑造出普遍方法来解决科学问题,特别是数学问题,对此他称为普遍数学.正是这种对方法的普遍考虑使他发明代数方法研究几何问题,从而创立解析几何学.波利亚(Polya,G.)把笛卡儿的方案总结如下:
　 任意问题
数学问题
代数问题
解方程组
解方程P(x)=0,
其中第③,④步无非是数学,第②步并没有一般方法,第①步则困难更大.莱布尼茨也把找出能求解任何数学问题的普遍算法列为他第二大目标.笛卡儿在几何方面实现这个目标,而莱布尼茨则在逻辑上制定一个方案.数学作为一种普遍方法,总是不断跨越已有的领域,深入到未知的世界中去,并且不断创造新的数学对象.17—18世纪,无穷及无穷小进入数学,把代数运算规则向无穷领域推广,这就导致数学分析的形式,并且构成方法上的大飞跃.19世纪由实分析向复分析过渡,再次加大分析方法的威力.
3) 数学是一种普遍思想原则.数学发展过程中由于不断一般化、不断抽象化造成自己的普遍思想原则.对称性原则、不变性原则、守恒律三者统一是1918年诺特(Noether,(A.)E.)首先提出的,而群论方法在量子力学、原子-分子结构、核结构、基本粒子理论中的适用性也是外尔(Weyl,C.H.H.)首先得出的.群论方法至今仍广泛应用在科学的各方面,而不仅仅是上述领域及固体物理.数学中另一个重要原则是极值原则或变分原理,最早除了哲学的思辨之外,首先提出的是费马(Fermat,P.de),这些原则也是其后许多物理理论的基础,如哈密顿原理.
4) 数学是一种理性思维框架.20世纪之前,科学的支柱主要是理论和实验(包括观察和测量),数学和计算包括在理论当中.实际上,17世纪的科学革命推动近代科学的产生,完全依赖于理性与经验的结合.它们的哲学根源是笛卡儿的唯理主义与培根(Bacon,R.)的经验主义,他们也是近代哲学之父.确切地讲,笛卡儿把认识论置于本体论之上,把哲学从神学的奴仆地位解放出来,成功地实行思想的解放,直接推动近代科学的产生,其中,理论概念、数学工具与观察实验结合在一起是牛顿(Newton,I.)科学革命的催生婆.牛顿成就其伟业不仅在于他提出正确的理论概念(特别是力),而且在于他提供了数学工具(微积分)及分析框架,尽管当时还是用欧几里得的几何系统.其后科学的重大进步,理论概念及数学表述和计算的结合仍是不可缺少的一环.第二次世界大战以后,计算机的发展与计算技术的进步使得科学计算与理论和实验鼎足而三,并列为科学的三大支柱.近年来,由于数学的发展,从数学出发的理论越来越多地成为科学理论形成的始作俑者.这特别表现在1974年,纤维丛理论成为规范场理论的标准表述.其后越来越多的前沿数学领域进入物理学及其他科学领域,形成新兴理论框架,实际上数学已成为科学发展第四根支柱.对于生命科学、心理科学、社会科学,这种现象早已不是新事物.数理经济学以及对策论是这方面的最典型的例子.
2.数学的分科及其主要问题.数学不是一般意义上的自然科学或社会科学,它的对象及研究目标不像这些学科那样明确和集中.从古到今,数学中所包含的对象、学科及分支变化多端.中世纪除了算术及几何学之外,天文学及乐理也是数学的分支.到17世纪,木工、石工、建筑、火器、占星术等都是数学的内容.从那时起,静力学、动力学、光学、地图绘制法等仍然被看成大数学的一部分,尽管它们早已成为独立学科.数学内容的庞杂也可以说是数学的一大特征了.除此之外,许多基础的数学学科,它们的内容也有很大的改变,甚至于面目全非了.经典代数学主要研究代数方程的求解,而经过几次变化,现代代数学主要研究代数结构.这样一来,数学的统一尽管多次被提起,但是总难以概括全部数学.因此,时至今日,数学仍然是具有多样性对象也具有多种目标的学科,尽管它们之间有着千丝万缕的联系.人们把数学归结为相互关联的六大范畴,其中前三个可以说是数学的技术方面,后三个可以说是数学的理论方面.
1) 操作技术.大部分最早的数学问题属于解决“如何”的技术问题.最初的问题包括计数、计算、测量、作图等方面,后来逐步形成特殊的及一般的数学问题.在解决这些问题的过程中,形成了算法以及操作步骤的概念.在计算过程中,形成了算术,特别是解数值代数方程的算法.到近代,这推动符号代数学、求解代数方程的技术以及把这些技术推广到无穷算法以及代数综合方法的代数方法,从而形成无穷小演算及解析几何学.其后各个数学分支也提出相应的算法问题,例如拓扑学中计算同调群、同伦群等.从这个意义上讲,数学在本来意义上是一种计算技术,或更广一点讲是操作技术.而研究这种技术的目标就是发明算法或解题的步骤,以求得问题的解决.应该说,这是一种富有创造性的研究工作.以计算为例,就是由精确计算到近似解析计算到数值计算到计算机软件,它一直是数学研究的重要内容.除计算之外,还有测量、绘图、统计、运筹等操作,以及相应的和衍生的各种问题.例如古典几何有许多几何作图问题,特别是用圆规、直尺的几何三大问题,以及更一般的作图方法.为了解决这些问题,还要发明许多技术,如各种投影技术,它们至少在过去都属于大数学范围之内.在数学分析的范围内,级数求和、渐近展开、积分变换等都是高级的计算技术.
2) 技术理论.对数学操作的对象,应该有些认识,其中包括表示问题、操作规则与规律问题、可计算性问题、无穷级数收敛与发散问题、收敛速度问题、方程可解性问题、逼近的程度及可能性问题、作图的可能性问题,特别是方法的评价问题等.这样就形成与操作技术有关但又高一层次的学科,如数值分析、误差理论、函数逼近论、丢番图逼近理论、可解性及稳定性理论等.
3) 操作对象理论.它的目标不是指向对象本身,而是指向技术,指向求解的方法.例如丢番图方程论、代数方程论、代数方程组理论、常微分方程论、偏微分方程论、积分方程论等.它们涉及的不是单个方程,而是一类的对象,因此首要问题是分类问题.然后再对每一类研究解的数目、解的性质、根与系数的关系、某类解的存在性问题等,微分方程的定性理论也属于这一范畴.
以上三大范畴是解决“如何”的技术问题,而以下三大范畴才是解决“什么”的理论问题.
4) 对象理论.理论是对确切定义的对象的性质、关系、刻画、分类等的研究.典型的数学理论有数论、函数论、算子论以及各种几何对象理论、过程理论等.以数论为例,重要的分支按对象分有整数论、代数数论、超越数论等.按方法分有初等数论、解析数论、概率数论等.按问题的性质分有型的算术理论、几何数论等,也包括数论中的丢番图方程理论.函数论与算子论一开始也是表示问题,特别是无穷级数及无穷乘积表示,然后是积分表示等,其次涉及值分布等可以说是计数问题,另外还有刻画及分类问题.几何图形有许多性质与关系方面的问题,如度量性质以及相交、属于等关系,也有刻画及分类问题.
5) 结构理论.结构理论与对象理论之间并没有一条不可逾越的鸿沟,这样划分是因为结构理论必须建立在集合的基础之上.按照布尔巴基学派的观点,原始的结构可以划为三大类,研究它们各自的结构就形成结构数学的主要分支:① 代数结构:主要是群、环、域、模,它们分别构成群论、环论、域论、模论;② 序结构:主要是格,它们构成格论;③ 拓扑结构:主要是拓扑空间,它们构成一般拓扑学的研究对象.这些抽象的研究对象有两个来源:一是从过去研究的具体对象抽象化,特别是公理化而成,如群、域以及拓扑空间这些抽象结构衍生出来.新结构的产生有如下的几种途径:① 增减公理;② 复合结构;③ 多重结构;④ 混合结构.研究这些抽象对象的目标是搞清楚它们的结构并加以分类.所谓结构,就是元素(或它们的集合)和元素之间的关系.结构数学的主要问题大致可分为互相关联的四类问题:① 刻画问题;② 分类问题;③ 结构问题;④ 实现问题.
6) 元理论.元数学理论是对数学本身进行反思的产物,长期属于哲学的范畴.它讨论数学概念、数学理论的合理性以及数学方法的合法性问题.19世纪末之前,对于数是什么以及非欧几何问题,特别是数学分析的严格性的争论均属于这个范畴.19世纪末,集合论的建立,现代公理方法的提出,符号逻辑的形成,以及关于数学基础问题的论战,最终导致作为一门数学分支的数理逻辑的形成.由于哥德尔(Go¨del,K.)的工作,数理逻辑成为包括模型论、公理集合论、递归论和证明论(原始的和狭义的元数学)四大分支的数学领域,其后分别形成构造性数学和计算复杂性理论等新兴学科.除了以集合论为基础的现代数学之外,范畴论也成为一门元理论,在数学中有着有效的应用.
3.数学的发展和演化.数学的内容及范围随时间不同而不同,因此有言:“数学无非就是它的历史.”数学史大致可如下分期:前史时期;古代及中世纪时期(从公元前4世纪到16世纪末);近代前期(17—18世纪);近代后期(19世纪);现代时期(20世纪).每一个时期的特点简要分析如下:
1) 前史时期.前史时期的数学主要是民族数学或文化数学,在各种文化的发展过程中,各民族都或多或少掌握一些简单的数学技术,包括计数、计算、测量、土木建筑、绘图等,基本上属于实用技术.这些知识是零散的,而且反映出较大的文化差异.另外,也出现了神秘的占星术、数秘术、占卜术等,其中有个别涉及数学的内容,如二进制等.各种建筑上的对称图案以及正多面体的列举包含群的观念的萌芽.
2) 古代及中世纪时期.数学经过长时期的发展之后,正式成为一门学科,其主要标志是:① 建立数的表示及计算方法;② 对于一些问题有较系统的方法.这使数学技术部分初步形成.而欧几里得《几何原本》的问世,则使理论数学有了一个原型.各国数学发展状况有所不同,古代数学的主要领域是算术与几何,希腊具有初等的数论及量论以及一些基本的几何问题及数论问题.这些问题对以后的数学发展有很大的影响,但不一定很重要,比较重要的数学是计算,特别是解方程.中国、印度、阿拉伯的数学,偏重于计算及实际问题的解决.
3) 近代前期.近代数学诞生的标志是符号化的普遍算法的建立以及无穷进入数学.它一下子使建立在几何及算术上的算法登上了一个新台阶,不仅使它的应用范围大大扩大,成为发展科学技术的有力工具,而且也向理论提出一系列问题.这就导致19世纪操作理论、操作对象理论、对象理论的产生,出现数学多样化和理论化的时代.17世纪符号代数、解析几何学及微积分的建立,虽然大大扩大了数学技术库,但是并没有改变数学主要是一门实用的计算及操作技术的状态.数学作为一门计算技术进步惊人,特别是微积分的完成,解决了许多天文、力学及物理学的问题.微积分本身只不过是一种更有效的演算方法,即所谓无穷小演算.接着是常微分方程及数学物理方程的出现,以及变分法的诞生,使数学工具更为有效.
4) 近代后期.19世纪数学是近代数学的成熟时期,也是数学真正作为自为的理论科学产生的时期,但是伴随操作理论(如最小二乘法及误差理论、级数求和理论、函数逼近理论及丢番图逼近理论)、操作对象理论(如代数方程理论、常微分方程理论),数学技术本身也大有提高,特别是傅里叶展开、积分变换,尤其是复分析的建立.19世纪的数学可以说是数学对象化与多样化时期,一方面把数学由主要是操作技术转变为理论的时期,另一方面也为20世纪现代数学奠定了基础.这样,数学对象理论真正形成,数学成为一种自为的科学而不再仅是自然科学或技术的语言和工具了.
5) 现代时期.20世纪的数学是从19世纪数学多样性时期趋于统一的时期,其统一的基础是集合论.一方面集合论之上产生了结构数学的庞大领域,另一方面集合论的基础问题产生了元数学.数学新对象的形成,产生结构的多样性,导致理论的多样性,并且19世纪末以前的四大范畴的数学仍有新的发展,加上新的应用数学、计算数学等领域,数学日趋专门化、多样化.但意想不到的是,从20世纪70年代起,各个领域之间新关系不断发现,新一轮的统一性正在形成之中.当代数学前沿的大多数学科是20世纪上半叶形成的,其中主要是抽象代数学(包括群论、环及代数理论、域论、格论、整体李群理论、代数群论、同调代数以及各种衍生结构)、一般拓扑学、测度和积分理论、泛函分析(包括线性拓扑空间理论、算子代数理论等)、组合及代数拓扑学、整体微分几何、多复变函数论、动力系统理论、随机过程理论等.对于19世纪开创的新领域——代数数论、代数几何学、黎曼几何学和局部李群理论,也在结构数学的框架中获得重大突破,成为当代数学的前沿.
20世纪后期形成的一些领域,如微分拓扑学、大范围分析、K理论、非交换几何等,也可在其中看到其萌芽.除了纯粹数学领域的扩大与深化之外,20世纪的应用数学和计算数学的面貌也发生了根本的改变.一方面数学应用的范围已从20世纪之前的经典力学、天文学与测地学以及数学物理等领域扩展到几乎所有自然科学、工程技术、社会科学、人文科学的分支,并越来越起着举足轻重的作用;另一方面,一批新的应用数学领域产生出来,成为具有相对独立的分支,构成大数学科学的组成部分.它们一方面与实际问题有密切的关系,另一方面它们也形成独立的数学研究方向,其中最典型的是19世纪末20世纪初形成的数理统计,它们同应用概率一起在近半个世纪已经成为与经典数学平起平坐的学科领域.另外一个数学领域——组合数学几乎与数学的历史一样悠久,但只是近半个多世纪才逐步成熟及独立.第二次世界大战之后,一些新的应用数学领域独立出来,特别是运筹学诸分支,后来纳入管理科学的学科群中.与工程技术密切相关的系统科学、控制理论与自动化科学、信息科学也得到空前的发展.
20世纪科学技术史中头等重要的事件是电子计算机的诞生.它对整个社会的冲击是怎么估计也不过分的.从计算机的设计制造到大规模应用,处处离不开数学,同时也开辟了新的数学领域.它们可以归纳成两大部分:一是计算机科学,它指未来计算机的发展;一是计算数学,它指计算机在科学计算和工程技术中的大规模计算.计算机的不断普及和改进对数学也造成不可忽视的影响.它给数学家提出一系列算法问题,并形成一套行之有效的算法,如单纯形方法及其种种改进,有限元方法及其衍生算法等,对算法的分析,如收敛速度、误差传播及稳定性等问题形成数值分析分支.近年来,计算机由数值运算过渡到符号运算,形成计算机代数重要分支,特别是吴文俊的机械化数学纲领在机器证明方面是一大突破.
4.数学的社会功能.数学是最古老的科学部门,它的诞生和发展反映人类文明的进步.数学从一开始就与社会实践活动密切相关,从计数、土地丈量、器物制造、产品分配,一直到商业贸易、宗教活动等都向数学提出问题,并要求逐步解决和方法逐渐进步,最后形成相对定型的数学方法和学科.从此,各种社会活动与数学的应用密不可分.随着社会的进步,特别是近代科学技术的进步和新兴产业日新月异,数学也越来越成为科学技术发展的基础.从17世纪到19世纪,数学与力学、天文学、物理学、大地测量学、航海术就密不可分,互相促进地平行发展着.对于机械工程、建筑工程设计、电机工程等技术领域的发展,数学也起着决定性的作用.20世纪数学科学的巨大发展,比以往任何时代都更加令人信服地确立了数学作为整个科学技术的基础地位.数学物理、数学化学、生物数学、数理经济学、数理地质学、数理语言学、数值天气预报、数学考古等一系列边缘学科的出现,表明数学的应用已突破传统的范围而向人类一切知识领域渗透.随着科学数值化趋势的增长,数学在提高全民素质,培养适应现代化需要的各级人才方面还具有特殊的教育功能.数学科学,已成为推进人类文明的不可缺少的重要因素,数学正越来越直接地为人类生活与物质生产做出更大的贡献.数学应用具有以下特点:
1) 纯粹数学几乎所有的分支都获得应用.在20世纪60年代,像拓扑学这样的抽象数学分支离实际应用似乎还很遥远,而今拓扑学(特别是扭结理论)已成为生物学中了解DNA结构的有效工具.在物理学中,拓扑不变量正在成为物理的量,正如一些群的不变量是物理的量一样.数论也曾被认为是最纯粹、最缺乏应用的数学分支,但如今数论方法在计算机科学、密码技术、卫星信号传输、p进量子场论等许多方面发挥着重要的有时甚至是关键的作用,并通过与数值分析相结合开辟着更广的应用途径.事实上,仅就在理论物理中的应用而言,涉及的数学除了经典的分支与方法(如数学物理方程、傅氏分析、无穷维空间论、群论、概率统计等),还包括了微分拓扑、微分几何、大范围分析、代数几何、李群与李代数、算子代数、代数数论、非交换数学、非线性数学、计算数学等,几乎覆盖了核心数学的整个领域.
2) 几乎所有的科技领域都在应用数学,并越来越多地应用更高深的数学.数学在力学、物理学中的应用是经受了历史考验的,而当今数学的应用则早已突破这一传统的范围,正在向包括从粒子物理到生命科学,从航空技术到地质勘探在内的一切科技领域进军.除了自然科学,经济学及过去认为不适用数学的社会学、历史学等社会科学领域,数学方法也都在崭露头角.随机分析应用于金融决策而引起的经济学理论的进展,提供了特别令人鼓舞的例证.与以往时代不同的是,数学在向外渗透过程中越来越多地与其他领域相结合而形成交叉学科.与数学有关的词大量出现在各门学科之前后,如“数学的”、“数理的”、“计量的”、“统计的”、“计算的”以及“……数学”、“……统计学”等.学科成熟的社会标志是学会、协会的建立,期刊与连续出版物的问世,以及课程的设置,专业会议的召开等.例如,《数学化学杂志》于20世纪80年代创刊,《数理经济学杂志》于20世纪70年代创刊,生物数学的期刊出现更早.次一级的学科如“数学分类学”的著作早在20世纪80年代就问世了.值得注意的是纯粹数学中的一些前沿与其他科学的许多前沿领域的快速结合,这反映了科技领域中数学渗透的空前深度.可以这样说,没有这些前沿数学就没有当代理论物理学的一些前沿领域,如超弦理论、超引力理论等.事实上,仅仅像弦理论这样的物理学热门分支所用到的数学,就涉及微分拓扑学、代数几何学、微分几何、群论与无穷维代数、复分析与黎曼曲面的模理论等.凝聚态物理中分类晶体结构中的“缺陷”以及液晶理论,都用到某些齐性空间中同伦群的计算,而这即使对代数拓扑学家来说也是极难的问题.数理经济学中一般均衡理论的建立、发展,也用到了微分拓扑学的基本定理与彻底的公理化方法.经济学家德布鲁因(de,Bruijn,N.G.)这方面的工作获得了诺贝尔奖.
3) 数学在生产技术中的应用变得日趋直接.以往数学工具直接用于生产技术的例子虽有发生,但数学与生产技术的关系基本上是间接的.常常是先应用于其他科学,再由这些科学提供技术进步的基础.近半个世纪来,数学科学与生产技术的相互作用方式正在悄悄地改变,数学提供的工具直接影响和推动技术进步的频率正在加大,并在许多情况下产生巨大的经济效益.例如,以计算流体力学为基础的数值模拟已成为飞行器设计的有效工具,类似的数值模拟方法正被应用于许多技术部门以替代耗资巨大的试验;以调和分析为基础发展起来的小波分析直接应用于通信与石油勘探等广泛的技术领域,这在20年前是不能想象的;现代医学扫描技术(CT扫描、核磁共振成像等)主要也是建立在拉东积分理论的基础之上,这方面的例子举不胜举.此外,现代大规模生产的管理决策、产品质量控制也密切依赖于数学中的线性规划算法(单纯形法与新兴的内点法)及统计方法.近年来,以数学建模为核心的工业数学成为一个蓬勃发展的应用数学领域也绝不是偶然的,产业部门的工程技术人员与数学工作者携手合作,解决影响甚至决定生产过程的形形色色的数学问题,反之,许多挑战性问题也刺激纯数学的发展.
4) 数学在学科发展中的份额及力度越来越大.一些著名的数学家认为,数学是一种关键的、普遍适用的、赋予人以能力的技术.从某种意义上来讲,“高技术本质上是一种数学技术”.对此,一般人还只在科学计算的层面来理解.而实际上,数学方法是不同于理论方法及计算方法的第四个普遍适用的方法和技术.这种情况从20世纪70年代以来已初露端倪,在21世纪将成为科学研究的重要组成部分,而且也许是最富创造性的部分,这特别表现在形成概念及理论框架方面.实际上,当前的动力系统的研究(分叉、吸引子)、孤立子、混沌等已成为许多领域的通用语言及工具,而更艰深的数学将在未来更为普及.